완전 미분 방정식

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1. 개요
2. 정의
참조

1. 개요

완전 미분 방정식은 미분 방정식의 한 유형으로, 특정 조건을 만족할 때 해를 구할 수 있다. 1차 완전 미분 방정식은 $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$ 형태이며, $M_y = N_x$ 조건을 만족할 때 완전 미분 방정식이 된다. 2차 및 고차 미분 방정식으로 확장될 수 있으며, 각 차수에 따라 판별 조건과 해법이 존재한다. 완전 미분 방정식은 다양한 공학 및 과학 분야에서 응용된다.

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완전 미분 방정식
개요
유형	미분 방정식
풀이 방법	적분 인자
완전 미분 방정식
유형	미분 방정식
풀이 방법	적분

2. 정의

$u(x,y)$ 가 연속인 편도함수를 가질 때, 단순 연결된 열린 집합에서 정의된 음함수 1차 상미분 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $I(x, y)\, dx + J(x, y)\, dy = 0,$

이 방정식은 다음과 같은 조건을 만족하는 연속 미분 가능 함수 ''F''(포텐셜 함수)가 존재하면 '''완전 미분 방정식'''이라고 한다.^[1]^[2]

: $\frac{\partial F}{\partial x} = I$

: $\frac{\partial F}{\partial y} = J.$

완전 방정식은 다음과 같은 형태로도 나타낼 수 있다.

: $I(x, y) + J(x, y) \, y'(x) = 0$

"완전 미분 방정식"이라는 명칭은 어떤 함수 $F(x_0, x_1,...,x_{n-1},x_n)$ 의 전미분에서 유래한다. $x_0$ 에 대한 전미분은 다음과 같이 주어진다.

: $\frac{dF}{dx_0}=\frac{\partial F}{\partial x_0}+\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial F}{\partial x_i}\frac{dx_i}{dx_0}.$

2. 1. 1차 완전 미분 방정식

u(x,y)

가 연속인 편도함수를 가질 때 u의 미분은 다음과 같다.

:

du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy

u(x,y) = const.

일 때,

du=0

이므로, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

위의 식이 '''완전미분방정식'''이다.

예를 들어 함수

F:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}

가 다음과 같이 주어진다고 하자.

:

F(x,y) = \frac{1}{2}(x^2 + y^2)+c

이 함수는 미분 방정식

:

x\,dx + y\,dy = 0.\,

에 대한 스칼라 퍼텐셜이다.

2. 1. 1. 1차 완전 미분 방정식의 판별

u(x,y)

가 연속인 편도함수를 가질 때 u의 미분은 다음과 같다.

:

du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy

u(x, y) = const.

일 때,

du = 0

이므로, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

위의 식이 '''완전미분방정식'''이다. 함수

M

,

N

,

M_y

,

N_x

가 주어지고, 아래 첨자는 상대 변수에 대한 편미분을 나타내며, 영역

R: \alpha < x < \beta, \gamma < y < \delta

에서 연속이라고 하자. 그러면 미분 방정식

:

M(x, y) + N(x, y)\frac{dy}{dx} = 0

은 다음 조건이 만족될 때, 완전 미분 방정식이 된다.

:

M_y(x, y) = N_x(x, y)

즉, 'potential function'이라고 불리는 함수

\psi(x, y)

가 존재하여 다음을 만족한다.

:

\psi_x(x, y) = M(x, y)

and

\psi_y(x, y) = N(x, y)

따라서 일반적으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

M_y(x, y) = N_x(x, y) \iff\begin{cases}\exists \psi(x, y)\\\psi_x(x, y) = M(x, y)\\\psi_y(x, y) = N(x, y)\end{cases}

2. 1. 2. 1차 완전 미분 방정식의 해법

u(x,y)

가 연속인 편도함수를 가질 때 u의 미분은 다음과 같다.

:

du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy

u(x,y) = const.

일 때,

du=0

이므로, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

위의 식이 '''완전미분방정식'''이다.

\psi(x,y)

라는 함수가 존재하여

\psi_x(x, y) = M(x, y)

이고

\psi_y(x, y) = N(x, y)

라고 가정하면,

M_y(x, y) = \psi_{xy}(x, y)

이고

N_x(x, y) = \psi_{yx}(x, y)

가 성립한다.

M_y

와

N_x

가 연속이므로,

\psi_{xy}

와

\psi_{yx}

또한 연속이며, 이는 그들의 등식을 보장한다.

M_y(x, y) = N_x(x, y)

이고, 다음을 만족하는 함수

\psi(x, y)

가 존재한다고 가정하자.

:

\psi_x(x, y) = M(x, y)

이고

\psi_y(x, y) = N(x, y)

먼저 첫 번째 방정식을

x

에 대해 적분한다.

:

\frac{\partial \psi}{\partial x}(x, y) = M(x, y)

:

\psi(x, y) = \int M(x, y) \, dx + h(y)

:

\psi(x, y) = Q(x, y) + h(y)

여기서

Q(x, y)

는

Q_x = M

을 만족하는 임의의 미분 가능한 함수이다. 함수

h(y)

는 적분 상수의 역할을 하지만, 단순히 상수일 뿐만 아니라

y

의 함수인데,

M

이

x

와

y

모두의 함수이고

x

에 대해서만 적분하고 있기 때문이다.

\psi_y = N

을 만족하는

h(y)

를 항상 찾을 수 있음을 보이려면 다음과 같다.

:

\psi(x, y) = Q(x, y) + h(y)

양변을

y

에 대해 미분한다.

:

\frac{\partial \psi}{\partial y}(x, y) = \frac{\partial Q}{\partial y}(x, y) + h'(y)

결과를

N

과 같게 설정하고

h'(y)

에 대해 푼다.

:

h'(y) = N(x, y) - \frac{\partial Q}{\partial y}(x, y)

이 방정식에서

h'(y)

를 결정하려면 우변이

y

에만 의존해야 한다. 이는

x

에 대한 미분이 항상 0임을 보여줌으로써 증명할 수 있으며, 따라서 우변을

x

에 대해 미분한다.

:

\frac{\partial N}{\partial x}(x, y) - \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial Q}{\partial y}(x, y) \iff \frac{\partial N}{\partial x}(x, y) - \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial Q}{\partial x}(x, y)

Q_x = M

이므로,

:

\frac{\partial N}{\partial x}(x, y) - \frac{\partial M}{\partial y}(x, y)

이것은

M_y(x, y) = N_x(x, y)

라는 초기 가정에 따라 0이다.

따라서,

:

h'(y) = N(x, y) - \frac{\partial Q}{\partial y}(x, y)

:

h(y) = \int{\left(N(x, y) - \frac{\partial Q}{\partial y}(x, y)\right) dy}

:

\psi(x, y) = Q(x, y) + \int \left(N(x, y) - \frac{\partial Q}{\partial y}(x, y)\right) \, dy + C

다음과 같은 형태의 일계 완전 미분 방정식

:

M(x, y) + N(x, y)\frac{dy}{dx} = 0

는 잠재 함수

\psi(x, y)

를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\frac{\partial \psi}{\partial x} + \frac{\partial \psi}{\partial y}\frac{dy}{dx} = 0

여기서

:

\begin{cases}\psi_x(x, y) = M(x, y)\\\psi_y(x, y) = N(x, y)\end{cases}

이는

\psi(x,y)

의 전미분을 구하는 것과 같다.

:

\frac{\partial \psi}{\partial x} + \frac{\partial \psi}{\partial y}\frac{dy}{dx} = 0 \iff \frac{d}{dx}\psi(x, y(x)) = 0

따라서 완전 미분 방정식의 해는 다음과 같다.

:

\psi(x, y(x)) = c

그리고 문제는

\psi(x, y)

를 찾는 것으로 축소된다.

M(x, y) \, dx

와

N(x, y) \, dy

를 적분한 다음, 결과 식에서 각 항을 한 번만 쓰고 모두 더하여

\psi(x, y)

를 구할 수 있다.

:

\begin{cases}\psi_x(x, y) = M(x, y)\\\psi_y(x, y) = N(x, y)\end{cases}

양변을 적분하면

:

\begin{cases}\psi(x, y) = \int M(x, y) \, dx + h(y) = Q(x, y) + h(y)\\\psi(x, y) = \int N(x, y) \, dy + g(x) = P(x, y) + g(x)\end{cases}

따라서

:

Q(x, y) + h(y) = P(x, y) + g(x)

여기서

Q(x, y)

와

P(x, y)

는

Q_x = M

이고

P_y = N

인 미분 가능한 함수이다.

양변이 정확히 같은 식

\psi(x, y)

가 되게 하려면,

h(y)

는

P(x, y)

의 식에 포함되어야 한다. 왜냐하면

g(x)

에는 포함될 수 없기 때문이다.

g(x)

는 전적으로

y

의 함수이고

x

의 함수가 아니므로

x

와 관련될 수 없다. 유사하게,

g(x)

는

Q(x, y)

의 식에 포함되어야 한다.

따라서,

:

Q(x, y) = g(x) + f(x, y)

이고

P(x, y) = h(y) + d(x, y)

어떤 식

f(x, y)

및

d(x, y)

에 대해 위 식에 대입하면 다음과 같다.

:

g(x) + f(x, y) + h(y) = h(y) + d(x, y) + g(x) \Rightarrow f(x, y) = d(x, y)

따라서

f(x, y)

와

d(x, y)

는 같은 함수이다.

:

Q(x, y) = g(x) + f(x, y)

이고

P(x, y) = h(y) + f(x, y)

:

\begin{cases}\psi(x, y) = Q(x, y) + h(y)\\\psi(x, y) = P(x, y) + g(x)\end{cases}

이므로,

:

\psi(x, y) = g(x) + f(x, y) + h(y)

따라서,

\int M(x,y) \, dx

와

\int N(x, y) \, dy

를 수행한 다음 두 결과 식에서 공통 항(즉

f(x, y)

)을 가져오고, 마지막으로 둘 중 하나에서 고유하게 발견되는 항(

g(x)

와

h(y)

)을 추가하여

\psi(x, y)

를 구성할 수 있다.

2. 2. 2차 완전 미분 방정식

2차 완전 미분 방정식은 1차 완전 미분 방정식의 개념을 확장한 것이다.^[3] 2차 미분 방정식의 일반적인 형태는 다음과 같다.

:

f(x,y)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^2y \over dx^2} (J(x,y))=0

2차 완전 미분 방정식은 주어진 식을 1차 완전 미분 방정식 형태로 변환하여 해를 구할 수 있으며, 이때 해에는 2개의 임의 상수가 포함된다.

2. 2. 1. 2차 완전 미분 방정식의 판별

정확한 미분 방정식의 개념은 2차 방정식으로 확장될 수 있다.^[3]

1차 정확 방정식을 생각해보자.

:

I(x,y)+J(x,y){dy \over dx}=0

두 함수

I(x,y)

,

J(x,y)

는 모두 두 변수의 함수이므로, 다변수 함수를 암묵적으로 미분하면 다음과 같다.

:

{dI \over dx} +\left({ dJ\over dx}\right){dy \over dx}+{d^2y \over dx^2} (J(x,y))=0

전체 도함수를 확장하면 다음과 같다.

:

{dI \over dx}={\partial I\over\partial x}+{\partial I\over\partial y}{dy \over dx}

:

{dJ \over dx}={\partial J\over\partial x}+{\partial J\over\partial y}{dy \over dx}

{dy \over dx}

항을 결합하면 다음과 같다.

:

{\partial I\over\partial x}+{dy \over dx}\left({\partial I\over\partial y}+{\partial J\over\partial x}+{\partial J\over\partial y}{dy \over dx}\right)+{d^2y \over dx^2} (J(x,y))=0

방정식이 정확하다면,

{\partial J\over\partial x}={\partial I\over\partial y}

이다. 또한,

J(x,y)

의 전체 도함수는 암묵적 보통 도함수

{dJ \over dx}

와 같다. 이는 다음과 같이 재작성된 방정식으로 이어진다.

:

{\partial I\over\partial x}+{dy \over dx}\left({\partial J\over\partial x}+{dJ \over dx}\right)+{d^2y \over dx^2} (J(x,y))=0

이제 다음과 같은 2차 미분 방정식이 있다고 하자.

:

f(x,y)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^2y \over dx^2} (J(x,y))=0

정확한 미분 방정식의 경우,

{\partial J\over\partial x}={\partial I\over\partial y}

이면 다음과 같다.

:

\int \left({\partial I\over\partial y}\right) \, dy=\int \left({\partial J\over\partial x}\right) \, dy

:

\int \left({\partial I\over\partial y}\right) \, dy=\int \left({\partial J\over\partial x}\right) \, dy=I(x,y)-h(x)

여기서

h(x)

는

I(x,y)

를

y

에 대해 편미분할 때 0으로 미분된

x

만의 임의의 함수이다. 적분 결과가 부분적으로 0으로 미분된 원래의 함수

h(x)

가 누락된

I(x,y)

로 생각하는 것이 더 직관적이다.

만약

:

{dI\over dx}={\partial I\over\partial x}+{\partial I\over\partial y}{dy \over dx}

이면, 항

{\partial I\over\partial x}

는

x

와

y

만의 함수여야 한다. 왜냐하면

x

에 대한 편미분은

y

를 상수로 유지하고

y

의 도함수를 생성하지 않기 때문이다. 2차 방정식에서

:

f(x,y)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^2y \over dx^2} (J(x,y))=0

항

f(x,y)

만 순전히

x

와

y

의 항이다.

{\partial I\over\partial x} = f(x,y)

라고 하면,

:

f(x,y)={ dI\over dx}-{\partial I\over\partial y}{dy \over dx}

x

에 대한

I(x,y)

의 전체 도함수는 암묵적 보통 도함수

{dI \over dx}

와 같으므로, 다음과 같다.

:

f(x,y)+{\partial I\over\partial y}{dy \over dx}={dI \over dx}={d \over dx}(I(x,y)-h(x))+{dh(x) \over dx}

:

{dh(x) \over dx}=f(x,y)+{\partial I\over\partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}(I(x,y)-h(x))

:

h(x) =\int\left(f(x,y)+{\partial I\over\partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}(I(x,y)-h(x))\right) \, dx

따라서 2차 미분 방정식

:

f(x,y)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^2y \over dx^2} (J(x,y))=0

는

g\left(x,y,{dy \over dx}\right)={ dJ\over dx}+{\partial J\over\partial x}={dJ \over dx}+{\partial J\over\partial x}

이고, 아래 식이

:

\int\left(f(x,y)+{\partial I\over\partial y}{dy \over dx}-{d \over dx} (I(x,y)-h(x)) \right) \, dx=\int \left(f(x,y)-{\partial \left(I(x,y)-h(x)\right)\over\partial x}\right) \, dx

오직

x

의 함수일 경우에만 정확하다.

h(x)

가 임의의 상수로 계산되면,

I(x,y)-h(x)

에 추가되어

I(x,y)

를 만든다. 방정식이 정확하다면, 1차 정확 방정식의 일반적인 방법을 사용하여 해결할 수 있는 1차 정확 형태로 줄일 수 있다.

:

I(x,y)+J(x,y){dy \over dx}=0

그러나 이제 마지막 암묵적 해에서는 2차 방정식에서 예상되는 두 개의 임의의 상수인

C_1x

항이

x

에 대해 두 번 적분된

h(x)

의 적분에서 나오며,

C_2

가 있다.

2. 2. 2. 2차 완전 미분 방정식의 해법

다음 미분 방정식을 생각해 보자.

:

(1-x^2)y''-4xy'-2y=0

y''

항을 검사하여 항상 정확성을 쉽게 확인할 수 있다. 이 경우,

x

에 대한

1-x^2

의 편미분 및 전미분은 모두

-2x

이므로, 그 합은

-4x

이며, 이는

y'

앞에 있는 항과 정확히 일치한다. 정확성에 대한 조건 중 하나가 충족되면 다음을 계산할 수 있다.

:

\int (-2x) \, dy=I(x,y)-h(x)=-2xy

f(x,y)=-2y

라고 하면,

:

\int \left(-2y-2xy'-{d \over dx} (-2xy)\right) \, dx=\int (-2y-2xy'+2xy'+2y) \, dx=\int (0) \, dx = h(x)

따라서

h(x)

는 실제로

x

만의 함수이고, 2차 미분 방정식은 정확하다. 그러므로

h(x)=C_1

이고

I(x,y)=-2xy+C_1

이다. 1차 정확 방정식으로의 환원은 다음과 같다.

:

-2xy+C_1+(1-x^2)y'=0

I(x,y)

를

x

에 대해 적분하면

:

-x^2y+C_1x+i(y)=0

여기서

i(y)

는

y

의 임의의 함수이다.

y

에 대해 미분하면 도함수와

y'

항을 연관시키는 방정식이 나온다.

:

-x^2+i'(y)=1-x^2

따라서

i(y)=y+C_2

이고 전체 음함수 해는 다음과 같다.

:

C_1x+C_2+y-x^2y=0

y

에 대해 명시적으로 풀면 다음과 같다.

:

y= \frac{C_1x+C_2}{1-x^2}

2. 3. 고차 완전 미분 방정식

정확한 미분 방정식의 개념은 임의의 차수로 확장될 수 있다. 2차 완전 미분 방정식을 n번 음함수 미분하면 (n+2)차 미분 방정식을 얻을 수 있으며, 이를 통해 고차 완전 미분 방정식의 정의와 판별법을 유도할 수 있다.

2. 3. 1. 고차 완전 미분 방정식의 판별

정확한 미분 방정식의 개념은 임의의 차수로 확장될 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 정확한 2차 미분 방정식에서 시작해 보자.

:

{d^2y \over dx^2}(J(x,y))+{dy \over dx}\left({dJ \over dx}+{\partial J\over\partial x}\right)+f(x,y)=0

여기서

:

f(x,yt)={dht(x) \over dx}+{d \over dx}(I(x,y)-h(x))-{\partial J\over\partial x}{dy \over dx}

이다.

정확한 2차 미분 방정식을

n

번 음함수 미분하면,

(n+2)

차 미분 방정식이 생성되며, 이 방정식의 형태에서 정확성을 위한 새로운 조건을 유추할 수 있다. 예를 들어, 위 2차 미분 방정식을 한 번 미분하여 3차 정확 방정식을 얻으면 다음과 같다.

:

{d^3y \over dx^3}(J(x,y))+{d^2y \over dx^2}{dJ \over dx}+{d^2y \over dx^2}\left({dJ \over dx}+{\partial J\over\partial x}\right)+{dy \over dx}\left({d^2J \over dx^2}+{d \over dx}\left({\partial J\over\partial x}\right)\right)+{df(x,y) \over dx}=0

여기서

:

{df(x,y) \over dx}={d^2h(x) \over dx^2}+{d^2 \over dx^2} (I(x,y)-h(x))-{d^2y \over dx^2}{\partial J\over\partial x}-{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J\over\partial x}\right)=F\left(x,y,{dy \over dx}\right)

이고,

F\left(x,y,{dy \over dx}\right)

는

x,y

와

{dy \over dx}

만의 함수이다.

F\left(x,y,{dy \over dx}\right)

에서 나오지 않는 모든

{dy \over dx}

및

{d^2y \over dx^2}

항을 결합하면 다음과 같다.

:

{d^3y \over dx^3}(J(x,y))+{d^2y \over dx^2}\left(2{dJ \over dx}+{\partial J\over\partial x}\right)+{dy \over dx}\left({d^2J \over dx^2}+{d \over dx}\left({\partial J\over\partial x}\right)\right)+F\left(x,y,{dy \over dx}\right)=0

따라서 3차 미분 방정식의 정확성을 위한 세 가지 조건은 다음과 같다.

${d^2y \over dx^2}$ 항은 $2{dJ \over dx}+{\partial J\over\partial x}$ 이어야 한다.
${dy \over dx}$ 항은 ${d^2J \over dx^2}+{d \over dx}\left({\partial J\over\partial x}\right)$ 이어야 한다.
$F\left(x,y,{dy \over dx}\right)-{d^2 \over dx^2} (I(x,y)-h(x))+{d^2y \over dx^2}{\partial J\over\partial x}+{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J\over\partial x}\right)$ 는 $x$ 만의 함수여야 한다.

2. 3. 2. 고차 완전 미분 방정식의 해법

다음 비선형 3차 미분 방정식을 고려해 보자.

:

yy'''+3y'y''+12x^2=0

만약

J(x,y)=y

라면,

y''\left(2{dJ \over dx}+{\partial J\over\partial x}\right)

는

2y'y''

이고,

y'\left({d^2J \over dx^2}+{d \over dx}\left({\partial J\over\partial x}\right)\right)=y'y''

이며, 이 둘을 더하면

3y'y''

가 된다. 다행히 이 값은 우리 방정식에 나타난다. 완전성의 마지막 조건은 다음과 같다.

:

F\left(x,y,{dy \over dx}\right)-{d^2 \over dx^2}\left(I(x,y)-h(x)\right)+{d^2y \over dx^2}{\partial J\over\partial x}+{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J\over\partial x}\right)=12x^2-0+0+0=12x^2

이것은 실제로

x

만의 함수이다. 따라서 이 미분 방정식은 완전하다. 두 번 적분하면

h(x)=x^4+C_1x+C_2=I(x,y)

가 된다. 방정식을 1차 완전 미분 방정식으로 다시 쓰면 다음과 같다.

:

x^4+C_1x+C_2+yy'=0

I(x,y)

를

x

에 대해 적분하면

{x^5\over 5}+C_1x^2+C_2x+i(y)=0

이 된다.

y

에 대해 미분하고 그 값을 1차 방정식에서

y'

앞에 있는 항과 같게 하면

i'(y)=y

이고

i(y)={y^2\over 2}+C_3

이다. 전체 음함수 해는 다음과 같다.

:

{x^5\over 5}+C_1x^2+C_2x+C_3+{y^2\over 2}=0

따라서 양함수 해는 다음과 같다.

:

y=\pm\sqrt{C_1x^2+C_2x+C_3-\frac{2x^5}{5}}

참조

_[1] 서적 Ordinary Differential Equations https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2013-03-11
_[2] 서적 Applied Differential Equations: The Primary Course https://books.google[...] CRC Press 2014-12-16
_[3] 서적 Ordinary Differential Equations: An Elementary Textbook for Students of Mathematics, Engineering and the Sciences https://archive.org/[...] Dover

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